题目

题目描述

求把$NM$的棋盘分割成若干个$12$的的长方形，有多少种方案。
例如当$N=2$，$M=4$时，共有5种方案。当$N=2$，$M=3$时，共有3种方案。
如下图所示：

输入格式
输入包含多组测试用例。
每组测试用例占一行，包含两个整数N和M。
当输入用例N=0，M=0时，表示输入终止，且该用例无需处理。
输出格式
每个测试用例输出一个结果，每个结果占一行。
数据范围
$1≤N$,$M≤11$
$1≤N$,$M≤11$
输入样例：

输出样例：

题解

这应该是一道很典型的状态压缩dp问题，暴力显然不能计算的。用状态压缩的形式来表示每一种状态。首先我们需要了解到假设我们摆放好所有横着放的小方格，那么竖着放的小方格的状态也就确定了(如果是一种合理的摆放状态就确定唯一的一种状态了，如果不合理竖着放的小方格就不能完全放上去把空白填充了)。

例如上图横着放的确定了，则竖着放的情况也确定了。因此我们只需要考虑横着放的状态就行了。
状态f[i][j]表示第i 列上一列哪些行伸出小方格的状态为 j
例如

上图$f[i][j]$, 其中$i$代表第$i$列，$j =(10010)_2$ , $f[i][j]$中$i$的范围为0到11，$j$的范围为$0到2^{11}$。

转移方程很简单，本列的每一个状态都由上列所有“合法”状态转移过来$f[i][j]$ += $f[i - 1][k]$

两个转移条件： i 列和 i - 1列同一行不同时捅出来；本列捅出来的状态j和上列捅出来的状态k求或，得到上列是否为奇数空行状态，奇数空行不转移（这个条件可以预处理）。
初始化条件f[0][0] = 1，第0列只能是状态0，无任何格子捅出来。返回f[m][0]。第m + 1列不能有东西捅出来。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 12, M = 1 << N;
bool st[M];
long long f[N][M];

int main(){
    int n, m;
    while (cin >> n >> m && (n || m)){

        for (int i = 0; i < 1 << n; i ++){
            int cnt = 0;
            st[i] = true;
            for (int j = 0; j < n; j ++)
                if (i >> j & 1){    //如果由连续奇数个空白区域就 置为false
                    if (cnt & 1) st[i] = false; // cnt 为当前已经存在多少个连续的0
                    cnt = 0;
                }
                else cnt ++;
            if (cnt & 1) st[i] = false; // 扫完后要判断一下最后一段有多少个连续的0
        }

        memset(f, 0, sizeof f);
        f[0][0] = 1;
        for (int i = 1; i <= m; i ++) //枚举每一列
            for (int j = 0; j < 1 << n; j ++) //枚举当前列
                for (int k = 0; k < 1 << n; k ++) //枚举前一列
                    if ((j & k) == 0 && (st[j | k])) 
                    // j & k == 0 表示 i 列和 i - 1列同一行不同时捅出来
                    // st[j | k] == 1 表示 在 i 列状态 j， i - 1 列状态 k 的情况下是合法的.
                        f[i][j] += f[i - 1][k];      
        cout << f[m][0] << endl;  //最后一列不能有格子捅出来
    }
    return 0;
}